Proceso de construcción: Detalles finales.

Después de lijar, barnizar, poner la placa y afinar los últimos detalles, pensamos que nos acercabamos al final del proceso de construcción,l sin embargo, jamás imaginamos lo equivocados que estabamos.

El día viernes nos acercamos al laboratorio de hidráulica para estudiar la fuerza del chorro, el tiempo que duraba y obetener la máxima información posible sobre lo que nuestra embarcación debía enfrentar.

El lunes, teniendo a nuestro bote (apodado "cuasimodo") listo para la acción, nos dimos cuenta que la estabilidad era mucho menor de la presupuestada, y que el chorro era perfectamente capaz de voltear la botella. Considerando lo anterior es que optamos por agregar más peso al bote, lo que implicó que debimos agregar una cubierta falsa para seguir cumpliendo el requisito de línea de flotación.


Al mismo tiempo debimos modificar la forma de la quilla para bajar el centro de gravedad al máximo y así optimizar aún más la estabilidad.

Lamentablemente para el día martes nuestra placa falló y tuvimos que dedicarnos a arreglarla.

El día miercoles, tras arreglar todos los detalles previos, nos dimos cuenta que dado que el peso estaba centrado en el centro (eje horizontal), la inercia el momento de inercia en este eje no nos favorecía, lo que significó que bastaba que el golpe del chorro estuviera tan sólo un poco desviado para que el bote girara más de lo que deseabamos. Consecuentemente, distribuimos peso en los extremos y perfeccionamos la quilla.

Finalmente el día jueves, aún teniendo problemas de dirección, pudimos corregir los detalles anteriores y obtener resultados satisfactorios que cumplieran con las condiciones de flotabilidad, estabilidad, línea de flotación y dirección dadas. Desgraciadamente la máquina del DIHA que nos ayudaba a medir los coeficientes dejó de funcionar en algún momento de la tarde, de modo que nuestras mediciones se debieron llevar a cabo de manera artesanal, improvisando con un resorte un dinamómetro y con una bomba de alta presión el chorro.

Gastos

Durante el proceso de construcción de la embarcación se incurrieron en diversos gastos, tanto de materiales para la construcción u otros materiales de apoyo como la cartulina necesaria para cortar las formas de las secciones laterales.

En la tienda Mirax (Apumanque) se compraron todas las maderas de balsa, las cuales costaron $600 cada una para un total de $9600. Además se compró una cola fría especial para maderas, la cual tuvo un costo de $2300.

Además de esto, en la tienda Easy tuvimos que comprar Cola Fría, puntas para afirmas las tablas del bote, una lija de metal y una brocha para barnizar el bote.

En total, como se puede observar en las boletas, se incurrió en un costo de $14.645. Se gastó en algunos otros materiales de apoyo (como cartulinas y chinches para sujetas las maderas), superando ligeramente el costo de $15.000, por lo que no se muestran las boletas.

Mediciones

A modo de estimar la constante de arrastre, se utilizará la siguiente fórmula:

Donde Fd es la fuerza de arrastre producida por el agua cuando el barco va a una velocidad V, y A es el área proyectada del barco en el plano perpendicular al movimiento (dentro del agua). A modo de medir esta fuerza se puede utilizar un dinamómetro o cualquier resorte cuya constante k conozcamos. Se sujeta el resorte al barco (el otro extremo del resorte se mantiene fijo) y se pone el barco sobre agua de velocidad constante, simulando el barco en movimiento. Al ver cuánto se desplaza el resorte, podemos medir la fuerza que actúa sobre él.

Según los datos obtenidos, la fuerza F es 38,396N, por lo que la constante que se opone al roce es 1,1. Esto para un área de proyección de 0,06908 m^2, la cual difiere de la tomada en el análisis hidrodinámico previo pues se modificaron las dimensiones del barco para cumplir con los requisitos de flotación. Además, la nueva masa del barco es de 5 kg, incluyendo la botella. Esta fuerza fue calculada para un flujo de aproximadamente 1 m/s.

Posteriormente se midió el tiempo que se demora el barco en alcanzar los 5 metros. El tiempo, al aplicarle el chorro de agua, fue de 15 segundos. Esto se contrasta con el tiempo teórico, el cual, según el análisis hidrodinámico realizado anteriormente y ocupando la constante calculada es de 14,05 segundos.

Tómese en consideración las estimaciones pueden estar fuera de rango, pues tuvimos varios problemas en cuanto a la dirección del barco (se desviaba fácilmente). Esto causó grandes dificultades en el proceso de medición, pues es difícil saber en cuánto tiempo el barco recorre 5m si éstos no son en línea recta.

Imágenes del Proceso de Construcción

Primera Etapa:

Comenzamos haciendo el esqueleto del barco, realizando los moldes de los perfiles y de la cubierta en cartón y luego en madera para evitar cualquier inconveniente, los cuales vendrían en grandes cantidades

Segunda Etapa:

Se procedió al armado del esquelto del bote con madera trupan, y algunos otros trozos para darle soporte al pegado de los listones de madera de balsa que recubrirán la cubierta. Se comienza a ver aquí ya la forma del barco:

Tercera Etapa:

Luego de dejar firme el esqueleto del barco, procedimos a recubrirlo con la madera de balsa. Para ello cortamos listones de 1,5cm de ancho y pusimos en agua con peso encima y los extremos levantados, para lograr darle una curvatura inicial que permitiera adaptarse a la forma del casco de nuestra embarcación. Si bien el comienzo fue fácil, despues de la primera mitad tuvimos serios problemas para darle la forma deseada, pero para entonces ya era demasiado tarde - 11/11 1:30am -, había que seguir adelante, y así fue como quedó:

Hasta acá todo iba de maravilla, pero aquí se encontraba el punto de inflexión en el desarrollo del barco, y en el barco en sí, cuestión que causaría serios problemas a la hora de doblar la madera

Tras muchos intentos fallidos, logramos encontrar el método para poder lograr la forma del casco que deseábamos

Y finalmente se puede ver el barco en etapa de secado.

Próxima Etapa:

Lo que sigue es terminar el lijado y pintado del barco, con su pretendiente eliminación de potenciales puntos de filtrado, para luego hacer la prueba de estabilidad y realizar las últimas modificaciones a nuestra amada/odiada embarcación.

Análisis Hidrodinámico

En el análisis del movimiento del barco, se consideran principalmente tres fuerzas:

1. La fuerza del roce del agua contra el barco. Esta fuerza es proporcional al área de proyección en el plano perpendicular al movimiento, al cuadrado de la velocidad del barco y a la densidad del agua. Matemáticamente, se puede expresar como:

Donde es un coeficiente a determinar empíricamente.

También existe una fuerza asociada al roce del aire, pero debido a que la densidad del aire es mucho menor que la del agua ésta se puede despreciar.

2. La fuerza que aplica el chorro de agua contra la placa. Para esto necesitamos conocer el caudal del chorro, la geometría de la placa y el diámetro y velocidad de salida. Para esto aplicaremos las siguientes fórmulas:

I - Conservación de la cantidad del movimiento:

II - Conservación de la Energía para un régimen permamente e incompresible:

III - Conservación de la Masa:

Si tomamos la densidad como constante y el régimen es impermanente (el volumen va cambiando), llegamos a la siguiente ecuación:

Donde es el gasto volumétrico que pasa a través del orificio y depende del tiempo.

Ahora bien, El gasto lo podemos expresar como el área del orificio por la velocidad del chorro de agua. Por el otro lado la velocidad del chorro la podemos obtener utilizando la ecuación de energía, tomando como referencias la energía en el tope del estanque y en la salida del chorro. Así obtenemos las siguientes ecuaciones:

Desconociendo la geometría exacta del estanque, asumiremos que tiene forma de cilindro y por lo tanto su área es constante. Así podemos asociar el volumen c

on el altura de agua del siguiente modo:

Así,

Que es una ecuación diferencial simple de resolver. Podemos separar variables e integrar a ambos lados. Finalmente, podemos despejar la constante de integración fijando h(0) = 1,5m, que es la altura máxima que tendrá el agua en el estanque, con referencia a la posición de la tubería desde donde sale el chorro. Así tenemos

Esto a su vez nos permite obtener la velocidad del chorro, la cual viene a ser

Multiplicando por el área del orificio, obtenemos el flujo en función del tiempo.

Ahora podemos finalmente aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento. Tomamos como volumen de control el tubo por el cual sale el chorro. Asumiendo que la velocidad no cambia en el volumen de control dado un tiempo fijo, obtenemos que:

Todos los cuales son conocidos. Si revisamos ahora el análisis hecho para la placa anteriormente (vea el post titulado "PLACA RECEPTORA", obtuvimos que para un ángulo de

La fuerza en el eje x es de

Donde F es la fuerza obtenida de la ecuación de la cantidad de movimiento. Lo único que queda por hacer, entonces, es aplicar la famosa ecuación de Newton para las dos fuerzas en el eje x.

La cual es una ecuación diferencial que podemos resolver numéricamente con un programa como Maple. Para ello, utilizaremos los siguientes datos:

En donde Cd se fijó arbitrariamente, y t_max sería el tiempo en que demora el estanque en vaciar y al mismo tiempo el tiempo hasta donde llegará nuestro gráfico. Todo esto debe verse considerando que se hicieron varias simplificaciones y que claramente en una situación real hay varias pérdidas de energía y el caudal no puede ser tan alto. Sin embargo, nos es útil para tener una aproximación cuantitativa y un análisis cualitativo para lo que pasará con el bote.

De tal manera, utilizando la ecuación de movimiento y el comando DEplot de Maple, obtenemos lo siguientes gráficos para velocidad y posición del barco:

Plano del Barco

El modelo matemática planteado inicialmente se basaba en el hecho de que plano del barco tendría una forma parabólica.

La forma final sigue siendo parabólica, pero para mejorar la estabilidad y la hidrodinámica se angostó el ancho máximo del barco, llegando a los 22 cm.

PLACA RECEPTORA

Diseño de la Placa Receptora del Chorro

Decidimos que la placa que recibe el chorro de agua tenga forma pseudo-parabólica con un ángulo a determinar y esté hecha de un material no poroso.

Para cumplir la condición de poder subir y bajar 3 centímetros, la placa irá unida a través de un soporte a un clip de presión que nos permita subirlo o bajarlo según sea necesario. Este clip por su parte irá apoyado en un soporte de perfil cuadrado (para que no gire) tal y como lo indica la imagen.

La ventaja de este diseño es que además de su sencillez, es muy liviano y eficiente en términos de resistencia de materiales.

Análisis del ángulo

Haciendo el equilibrio de fuerzas tenemos que las componentes en y se anulan y que las componentes en x quedan como:

Para maximizarla, derivamos con respecto a θ obteniendo:

De donde resolvemos que

θ=0 es el máximo

θ =π es el mínimo

θ= π/2 es el punto de inflexión.

Luego, deducimos que a medida que se vaya abriendo nuestra pseudo-parábola, la componente en x irá disminuyendo, por lo que lo lógico sería pensar que este ángulo fuera lo mínimo posible. Sin embargo, la conclusión anterior nos llevará a tener un ángulo muy brusco y con ello generar una pérdida singular de energía y, muy probablemente, desviar el flujo proveniente del chorro (perdiendo así aún más energía) , por lo tanto no es una condición óptima.

Es por lo anterior que estimamos que el ángulo debe darse paulatinamente en una parábola y que es conveniente utilizar un ángulo de θ =π/4 , de modo que le saquemos el mayor provecho posible a la componente en x sin tener consecuencias indeseables.

PLANO EMBARCACIÓN

A continuación podemos ver un plano de lo que será nuestra embarcación, vista por todos sus lados.

Podemos ver que hicimo el trade-off entre que sea totalmente hidrodinámico y que sea estable, para lo cual decidimos que la parte trasera será plana y no en punta, mientras que la parte delantera si lo será. Esta decisión se debe a que de esta forma se podrá cortar mejor el agua y con la parte trasera plana por un lado se logrará mayor estabilidad y además dará una superficie adecuada para poder instalar la placa para recibir el chorro.

Por otro lado cabe destacar que implementaremos un alerón en la parte inferior, el cual deberá estar instalado justo al medio de la embarcación, y servirá tanto en términos hidrodinámicos, como de estabilidad.

"NUESTRA EMBARCACIÓN"

El bote fue diseñado utilizando el programa grátis "DelftShip". Los cálculos más complicados se hicieron con Maple. Todos los cálculos que no están explicitamente expresados aquí se pueden encontrar en el worksheet enviado a los Sres. ayudantes.

De aquí en adelante, los ejes coordenados son (x, y, z), en donde x (el largo), e y (el ancho) se miden desde el centro de simetría del bote (punto medio), mientras que z se mide desde más abajo. Nótese que en el worksheet se toma z = 0 en la parte superior, pero en este blog se considera únicamente z = 0 en la parte inferior del bote.
´
Lo primero a hacer es establecer las condiciones de equilibrio. Para esto se debe dar que

Donde

y

A modo de simplificar nuestros cálculos y obtener un análisis cualitativo (y con cierto márgen de error cuantitativo), podemos modelar al casco como si cada corte vertical fuese una semi-circunferencia. Además, el radio de cada una de estas circunferencias lo podemos modelar como la ecuación de una parábola que pasa por tres puntos: El punto de máximo ancho, la proa y la popa. La ecuación que describe el radio según el largo del barco, x, es:

El barco lo podemos visualizar
en Maple del siguiente modo:

Se le puede además agregar una parte trasera, tal que se vea así:

A modo de ejemplo, los valores que se usaron para definir la parábola fueron los siguientes:

Si fijamos, además, el ancho máximo como la mitad del largo máximo, podemos calcular el área total de la siguiente manera:

Y el volumen, análogamente, integrande sobre el área de una semicircunferencia a lo largo del bote:

Ahora bien, los datos que conocemos son los siguientes:

Para hacer nuestro análisis, sólo debemos determinar el volumen del barco, lo que podemos hacer calculando la integral de arriba.

Una vez determinada la altura de carena podemos obtener las siguientes variables hidrostáticas:

1. Centro de masa (éste es calculado previamente por DelftShip)
2. Momento de inercia de la superficie de contacto con el agua

El centro de masa de la botella se encuentra en (0, 0, 0.13) m a partir de la base de la botella (ver cálculos más abajo).

El centro de masa del bote lo podemos calcular como sigue: en X e Y es 0 por simetría. Para z calculamos la integral:

En cuanto al momento de inercia, podemos estimarlo como el de una elipse cuyos ejes mayores y menores son el ancho máximo y largo máximo para un dado z.

Con los cálculos anteriores obtenemos los siguientes valores: (Nótese que se asume un espesor de 5 mm para la madera usada).

Para efectos de equilibrio, debemos igualar las masas (g se elimina). Para esto agregamos los 1.77kg restantes poniéndole un peso al bote, tal como un objeto de plomo.

El momento de inercia lo estimamos a partir de una elipse como:

Para cada eje. Además, elejimos poner la botella y los pesos en el centro de masa, de tal modo de no afectar su posición. Calculamos entonces la posición vertical del centro de masa (nótese que para efectos de cálculo se desprecia por el momento la plataforma a agregar, pues se piensan usar materiales livianos, pero aún no se conoce la factibilidad de fabricarla así).

Necesitamos entonces calcular el centro de masa total, puesto que sólo tenemos el del barco.
Éste es:

Lo único que nos falta calcular es la distancia entre el centro de masa y el centro de carena. De nuestros datos calculamos que

(distancias en metros).

Sin necesidad mayor de calcular la posición exacta del centro de carena, sabemos que tenemos una "altura de carena" (altura sumergida) de 12,5-5 = 7,5 cm, y el centro de carena debe estar, cuando menos, un par de centímetros mas abajo. Los valores calculados de momento de inercia partido en volumen son 7 cm para el eje y, 30 cm para el eje x. Queda claro entonces que se cumple la condición de estabilidad,

Centro de masa botella de Coca-Cola

Para calcular el centro de masa de la botella, aproximamos su geometría de la siguiente manera:

Luego, de este modo calculamos primero el volumen para cerciorarnos de tener una aproximación apropiada (aprox 1000 cc) y luego, asumiendo ro constante, obtuvimos por simetría en x el xcg en el centro y el ycg a 13 cm. desde la base de la botella.

(Desarrollo en maple anexo).