El bote fue diseñado utilizando el programa grátis "DelftShip". Los cálculos más complicados se hicieron con Maple. Todos los cálculos que no están explicitamente expresados aquí se pueden encontrar en el worksheet enviado a los Sres. ayudantes.
De aquí en adelante, los ejes coordenados son (x, y, z), en donde x (el largo), e y (el ancho) se miden desde el centro de simetría del bote (punto medio), mientras que z se mide desde más abajo. Nótese que en el worksheet se toma z = 0 en la parte superior, pero en este blog se considera únicamente z = 0 en la parte inferior del bote.
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Lo primero a hacer es establecer las condiciones de equilibrio. Para esto se debe dar que
Donde
y
A modo de simplificar nuestros cálculos y obtener un análisis cualitativo (y con cierto márgen de error cuantitativo), podemos modelar al casco como si cada corte vertical fuese una semi-circunferencia. Además, el radio de cada una de estas circunferencias lo podemos modelar como la ecuación de una parábola que pasa por tres puntos: El punto de máximo ancho, la proa y la popa. La ecuación que describe el radio según el largo del barco, x, es:
El barco lo podemos visualizar
en Maple del siguiente modo:
Se le puede además agregar una parte trasera, tal que se vea así:
A modo de ejemplo, los valores que se usaron para definir la parábola fueron los siguientes:
Si fijamos, además, el ancho máximo como la mitad del largo máximo, podemos calcular el área total de la siguiente manera:
Y el volumen, análogamente, integrande sobre el área de una semicircunferencia a lo largo del bote:
Ahora bien, los datos que conocemos son los siguientes:
Para hacer nuestro análisis, sólo debemos determinar el volumen del barco, lo que podemos hacer calculando la integral de arriba.
Una vez determinada la altura de carena podemos obtener las siguientes variables hidrostáticas:
- Centro de masa (éste es calculado previamente por DelftShip)
- Momento de inercia de la superficie de contacto con el agua
El centro de masa de la botella se encuentra en (0, 0, 0.13) m a partir de la base de la botella (ver cálculos más abajo).
El centro de masa del bote lo podemos calcular como sigue: en X e Y es 0 por simetría. Para z calculamos la integral:
En cuanto al momento de inercia, podemos estimarlo como el de una elipse cuyos ejes mayores y menores son el ancho máximo y largo máximo para un dado z.
Con los cálculos anteriores obtenemos los siguientes valores: (Nótese que se asume un espesor de 5 mm para la madera usada).
Para efectos de equilibrio, debemos igualar las masas (g se elimina). Para esto agregamos los 1.77kg restantes poniéndole un peso al bote, tal como un objeto de plomo.
El momento de inercia lo estimamos a partir de una elipse como:
Para cada eje. Además, elejimos poner la botella y los pesos en el centro de masa, de tal modo de no afectar su posición. Calculamos entonces la posición vertical del centro de masa (nótese que para efectos de cálculo se desprecia por el momento la plataforma a agregar, pues se piensan usar materiales livianos, pero aún no se conoce la factibilidad de fabricarla así).
Necesitamos entonces calcular el centro de masa total, puesto que sólo tenemos el del barco.
Éste es:
Lo único que nos falta calcular es la distancia entre el centro de masa y el centro de carena. De nuestros datos calculamos que
(distancias en metros).
Sin necesidad mayor de calcular la posición exacta del centro de carena, sabemos que tenemos una "altura de carena" (altura sumergida) de 12,5-5 = 7,5 cm, y el centro de carena debe estar, cuando menos, un par de centímetros mas abajo. Los valores calculados de momento de inercia partido en volumen son 7 cm para el eje y, 30 cm para el eje x. Queda claro entonces que se cumple la condición de estabilidad,
Para calcular el centro de masa de la botella, aproximamos su geometría de la siguiente manera:
Luego, de este modo calculamos primero el volumen para cerciorarnos de tener una aproximación apropiada (aprox 1000 cc) y luego, asumiendo ro constante, obtuvimos por simetría en x el xcg en el centro y el ycg a 13 cm. desde la base de la botella.
(Desarrollo en maple anexo).
